Kesebangunana Dan Korngruen

KESEBANGUNAN DAN KEKONGGRUENAN

KESEBANGUNAN DAN

KEKONGGRUENAN

Pada kesempatan ini, kamu akan diajak untuk memahami kesebangunan bangun datar dan penggunaannya dalam pemecahan masalah dengan cara mengidentifikasi bangun-bangun datar yang sebangun dan kongruen, mengidentifikasi sifat-sifat dua segitiga sebangun dan kongruen, serta menggunakan konsep kesebangunan segitiga dalam pemecahan masalah.

Kamu telah mempelajari perbandingan di Kelas VII. Perbandingan merupakan sifat dasar dalam konsep kesebangunan dan kekongruenan. Kesebangunan sangat penting peranannya dalam kehidupan sehari-hari seperti uraian berikut.

↔Lima orang anak ingin mengukur lebar sungai. Oleh karena secara langsung tidak memungkinkan, kegiatan pengukuran dilakukan secara tidak langsung. Mereka berhasil menandai tempat-tempat A, B, C, D, dan E seperti tampak pada gambaran berikut.

Setelah dilakukan pengukuran, diperoleh AB = 4 m, BC = 3 m, dan DE = BF = 12 m. Berapa meter lebar sungai itu?

Untuk menjawabnya, pelajarilah bab ini dengan baik.

A. Bangun-Bangun yang Sebangun dan Kongruen

B. Segitiga-Segitiga yang Sebangun

C. Dua Segitiga yang Kongruen BAD, dan CEF

Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

Diagram Alur Kesebangunan dan Kekongruenan

Perbedaan Sebangun Kongruen

Syarat-syarat

- Bentuk dan ukurannya sama besar.

- Sudut yang bersesuaian sama besar.

- Panjang sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan senilai.

- Sifat sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang (s.s.s)

- Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang berada di hadapannya

sama panjang (sd.sd.s)

- Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang diapitnya sama besar (s.sd.s)

- Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang berada di antaranya sama panjang (sd.s.sd).

Aplikasi Segitiga yang Sebangun

1. Aplikasi Menentukan perbandingan ruas garis pada segitiga.
2. Aplikasi Menentukan garis dan besar sudut dari bangun geometri.

Tes Apersepsi Awal

Sebelum mempelajari materi bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut di buku

latihanmu.

1. Suatu peta digambar dengan skala 1 : 500.000. Berapakah jarak pada peta jika jarak sesungguhnya 25 km?

2. Jika harga 6 buah penggaris adalah Rp2.700,00, berapakah harga 9 buah penggaris tersebut?

3. Sebutkan dan gambarkan jenis-jenis segitiga ditinjau dari:

a. panjang sisinya;

b. besar sudutnya.

Kesebangunan dan Kekongruenan

A. Bangun-Bangun yang Sebangun dan Kongruen

1. Foto Berskala

Contoh kesebangunan yang sering kamu jumpai dalam kehidupan sehari-hari adalah foto berskala, seperti terlihat

Pada dasarnya, pengertian skala pada foto sama dengan skala pada peta. Hanya saja, perbandingan antara ukuran pada foto dan ukuran sebenarnya tidak sebesar perbandingan antara ukuran pada peta dan ukuran sebenarnya. Satu sentimeter pada peta mewakili beberapa kilometer pada ukuran sebenarnya, sedangkan satu sentimeter pada foto biasanya mewakili beberapa sentimeter atau beberapa meter saja dari ukuran sebenarnya

Skala pada peta ialah perbandingan antara ukuran pada peta dan ukuran sebenarnya.

Contoh 1.1

Amati gambar dari foto sebuah mobil. Jika panjang mobil sebenarnya 3,5 m, berapa tinggi mobil sebenarnya?

Penyelesaian:

Untuk menentukan tinggi mobil sebenarnya, langkah pertama yang harus kamu lakukan adalah menentukan skala foto tersebut.

Perbandingan antara panjang dalam foto dan panjang sebenarnya

adalah 7 cm : 3,5 m

¤ 7 cm : 350 cm

¤ 1 cm : 50 cm.

Jadi, skala dari foto tersebut adalah 1 : 50. Oleh karena tinggi mobil dalam foto 2,5 cm maka tinggi mobil sebenarnya adalah

2,5 cm ¥ 50 = 125 c

.Jadi, tinggi mobil sebenarnya adalah 1,25 m.

Siapa Berani?

1. Seorang anak yang tingginya 1,5 m difoto. Jika skala foto tersebut adalah 1 : 20, berapa sentimeter tinggi anak dalam foto?

2. Lebar sebuah rumah dalam foto adalah 5 cm. Jika skala foto tersebut 1 : 160, berapa meter lebar rumah sebenarnya?

2. Pengertian Kesebangunan

Diperlihatkan tiga bangun persegipanjang yang masing-masing berukuran 36 mm ¥ 24 mm, 180 mm ¥ 120 mm, dan 58 mm ¥ 38 mm.Perbandingan antara panjang persegipanjang ABCD dan panjang persegipanjang A’B'C’D’ adalah 36 : 180 atau 1 : 5. Demikian pula dengan lebarnya, perbandingannya 24 : 120 atau 1 : 5. Dengan demikian, sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua persegipanjang itu memiliki perbandingan senilai (sebanding).Perbandingan sisi yang bersesuaian dari kedua persegipanjang tersebut, yaitu sebagai berikut.

ABABBCBCDCDCADAD””””====15

Oleh karena semua sudut persegipanjang besarnya 90° (siku-siku) maka sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua persegipanjang itu besarnya sama. Dalam hal ini, persegipanjang ABCD dan persegipanjang A’B'C’D’ memiliki sisi-sisi bersesuaian yang sebanding dan sudut-sudut bersesuaian yang sama besar. Selanjutnya, kedua persegipanjang tersebut dikatakan sebangun. Jadi, persegipanjang ABCD sebangun dengan persegipanjang A’B'C’D’.

Tugas untukmu :

Amatilah persegipanjang ABCD dan persegipanjang PQRS buat pada bukumu kedua persegipanjang tersebut. Coba kamu selidiki bersama kelompok belajarmu, apakah persegipanjang ABCD sebangun dengan persegipanjang PQRS?

Presentasikan hasil penyelidikanmu di depan kelas bergantian dengan kelompok lain.

Oleh karena sisi-sisi yang bersesuaian sebanding dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar maka ABCD sebangun dengan PQRS.

Pengertian kesebangunan seperti ini berlaku umum untuk setiap bangun datar.

Dua bangun datar dikatakan sebangun jika memenuhi dua syarat berikut.

1) Panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua bangun itu memiliki perbandingan senilai.

2) Sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua bangun itu sama besar.

Salah satu syarat kesebangunan adalah sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Maksud dari kata sama besar adalah ukuran sudutnya sebanding.Jadi, sudut-sudut yang bersesuaian tidak sama besar.

Contoh 1.3

1. Jika persegipanjang ABCD sebangun dengan persegipanjang PQRS, hitung panjang QR.

Penyelesaian:

Salah satu syarat dua bangun dikatakan sebangun adalah sisi-sisi yang bersesuaian sebanding. Oleh karena itu,

ABPQBCQRQR==265 ¤ 2QR = 30 ¤ QR = 15

Jadi, panjang QR adalah 15 cm.

2. Jika layang-layang KLMN dan layang-layang PQRS pada sebangun, tentukan besar –R dan –S.

Penyelesaian:

Salah satu syarat dua bangun dikatakan sebangun adalah sudut-sudut yang bersesuaian sama besar sehingga –P = 125° dan –Q = 80°.

•Buatlah gambar sebuah laying-layang PQRS, dan amati layang-layang tersebut.

Menurut sifat layang-layang, sepasang sudut yang berhadapan sama besar sehingga –R = –P = 125°.

• Oleh karena sudut-sudut dalam layang-layang berjumlah 360° maka

–P + –Q + –R + –S = 360°

¤ 125° + 80° + 125° + –S = 360°

¤ –S = 360° – 330° = 30°

3. Pengertian Kekongruenan

Pernahkah kamu melihat seorang tukang bangunan yang sedang memasang ubin? Sebelum ubin-ubin itu dipasang, biasanya tukang tersebut memasang benang-benang sebagai tanda agar pemasangan ubin tersebut terlihat rapi.

Cara pemasangan ubin tersebut dapat diterangkan secara

geometri seperti berikut

permukaan lantai yang akan dipasang ubin persegipanjang. Pada permukaannya diberi garis-garis sejajar. Jika ubin ABCD digeser searah AB (tanpa dibalik), diperoleh A Æ B, B Æ E, D Æ C, dan C Æ F sehingga ubin ABCD akan menempati ubin BEFC.

Akibatnya , AB Æ BE sehingga AB = BE

BC Æ EF sehingga BC = EF

DC Æ CF sehingga DC = CF

AD Æ BC sehingga AD = BC

–DAB Æ –CBE sehingga –DAB = –CBE

–ABC Æ –BEF sehingga –ABC = –BEF

–BCD Æ –EFC sehingga –BCD = –EFC

–ADC Æ –BCF sehingga –ADC = –BCF

Berdasarkan uraian tersebut, diperoleh

a. sisi-sisi yang bersesuaian dari persegipanjang ABCD dan persegipanjang BEFC sama panjang, dan

b. sudut-sudut yang bersesuaian dari persegipanjang ABCD dan persegipanjang BEFC sama besar.

Hal tersebut menunjukkan bahwa persegipanjang ABCD dan persegipanjang BEFC memiliki bentuk dan ukuran yang sama. Dua persegipanjang yang demikian dikatakan kongruen.

Selanjutnya ukurlah panjang sisi dan besar sudut-sudut segienam ABCDEF dan segienam PQRSTU. Jika kamu melakukan pengukuran dengan benar, diperoleh hubungan

(i) AB = BC = CD = DE = EF = FA = PQ = QR = RS = ST

= TU = UP

(ii) –A = –B = –C = –D = –E = –F = –P = –Q = –R

= –S = –T = –U.

Oleh karena itu, segienam ABCDEF kongruen dengan segienam PQRSTU.

Sekarang, ukurlah panjang sisi dan besar sudut-sudut segienam GHIJKL. Kemudian, bandingkan dengan unsur-unsur segienam ABCDEF. Dari hasil pengukuran tersebut, diperoleh hubungan

(i) –A = –B = –C = –D = –E = –F = –G = –H = –I = –J = –K = –L

(ii) AB . GH, BC . HI, CD . IJ, DE . JK, EF . KL, FA . LG.

Siapa Berani?

Berikut ini adalah sketsa tambak udang milik Pak Budi 100 m200 m100 m45°

Pak Budi akan membagi tambaknya menjadi 4 bagian yang sama dan berbentuk trapesium juga, seperti bentuk asalnya. Gambarlah olehmu tambak udang yang telah dibagi empat tersebut.

DECF ABTS RUQP KJIL GH

Berdasarkan (i) dan (ii), dapat disimpulkan bahwa segienam ABCDEF tidak kongruen dengan segienam GHIJKL.

Sekarang lakukan Tugas untukmu.

Berdasarkan uraian dan tugas tersebut diperoleh gambaran bahwa dua bangun yang kongruen pasti sebangun, tetapi dua bangun yang sebangun belum tentu kongruen.Bangun-bangun yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama dikatakan bangun-bangun yang kongruen.

Pengertian kekongruenan tersebut berlaku juga untuk setiap bangun datar.

Contoh 1.4

Buatlah dua buah persegipanjang ABCD dan persegipanjang PQRS

a. Selidiki apakah persegipanjang ABCD kongruen dengan persegipanjang PQRS?

b. Selidiki apakah persegipanjang ABCD sebangun dengan persegipanjang PQRS?

Jelaskan hasil penyelidikanmu.

Penyelesaian:

Unsur-unsur persegipanjang ABCD adalah AB = DC = 8 cm, AD = BC = 6 cm, dan –A = –B = –C = –D = 90°.

Amati persegipanjang PQRS dengan diagonal PR. Panjang PQ dapat ditentukan dengan

menggunakan Dalil Pythagoras seperti berikut. PQ = 8

Jadi, unsur-unsur persegipanjang PQRS adalah PQ = SR = 8 cm, PS = QR = 6 cm, dan –P = –Q = –R = –S = 90°.

a. Dari uraian tersebut tampak bahwa sisi-sisi yang bersesuaian dari persegipanjang ABCD dan persegipanjang PQRS sama panjang. Selain itu, sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua persegipanjang itu sama besar. Jadi, persegipanjang ABCD kongruen dengan persegipanjang PQRS.

b. Dua bangun datar yang kongruen pasti sebangun. Jadi, persegipanjang ABCD sebangun dengan persegipanjang PQRS.

B. Segitiga-Segitiga yang Sebangun

1. Syarat Dua Segitiga Sebangun

Buatlah sebuah gamabar segitiga dengan QR sejajar dengan ST (QR // ST).

Ukurlah panjang PS, PQ, PT, PR, ST, dan QR. Ukur pula besar –TPS, –RPQ, –PTS, –PRQ, –PST, dan –PQR. Berdasarkan hasil pengukuran tersebut, kamu akan memperoleh hubungan berikut:

(i) PSPQPTPRSTQR=;

(ii) –TPS = –RPQ, –PTS = –PRQ, –PST = –PQR.

Jadi, DPST sebangun dengan DPQR. Selanjutnya, amati DABC adalah segitiga

Dengan AB = c; BC = a; AC = b

–A = a; –B = b ; –C = g.

Jika kamu buat segitiga lain yang panjang sisi-sisi bersesuaiannya dua kali panjang sisi-sisi DABC maka diperoleh DKLM

a. Tentukan panjang PS.

b. Tentukan besar –PQR.

c. Tentukan besar –BCD.

d. Tentukan besar –BAD.

Uraian tersebut menunjukkan bahwa dua segitiga yang sisi-sisi bersesuaiannya sebanding maka sudut-sudut yang bersesuaiannya sama besar. Hal ini berarti bahwa dua segitiga yang sisi-sisi bersesuaiannya sebanding adalah sebangun.